II. 전반적인 방법

전반적인 방법

이제 가장 중요한 부분으로 들어가겠다. 실전에서 찍기를 어떻게 골라야 할까.

불행히도 답은 단순하지 않다. 실제로 많은 플레이어가 서로 다른 방식으로 배우고, 확률을 서로 다른 관점에서 이해해왔다. 체스가 좋은 비유다. 보편적인 단 하나의 방법은 없고, 많은 경우 경험과 직관이 어떤 계산보다 훨씬 효과적이다.

그래서 이 가이드의 목표는 찍기를 실행하는 정밀한 절차를 주는 것이 아니다. 대신, 사고의 열쇠와 구조화된 예시를 제공해서 각자 플레이를 발전시키도록 돕는 데 있다.

물론 어떤 사람들은 개념에 깊게 빠지고 싶지 않고, 단순히 승률을 올리는 쉬운 길을 원할 수도 있다. 그런 사람들을 위해서도 큰 사고 부담 없이 많은 전형적인 상황에서 먹히는 방법을 정리해보려 했다.

앞에서 설명한 내용을 다시 떠올려보자.

• 각 board configuration은 등장할 가능성이 같다.
• 더 적은 수의 지뢰를 사용하는 configuration이 더 가능성이 높다. 이것이 제1원리다.

이제 나중에 따로 변명하지 않기 위해, 어떤 사람에게는 너무 당연해 보일 수 있지만 매우 중요한 새 원리 하나를 미리 도입하겠다. 이것을 제3원리라고 부르겠다. 제2원리는 조금 뒤에 나온다.

내용은 이렇다.

안전한 칸 하나를 열었을 때 다른 여러 칸이 즉시 함께 안전해진다면, 그 여러 칸 중 하나를 고르는 편이 더 좋다.

예시를 보자.

• 제1원리에 따르면 보라색 칸이 파란 칸보다 지뢰일 가능성이 높다.
• 보라색 칸에 지뢰가 있는 configuration은 항상 지뢰 4개를 사용한다.
• 파란 칸에 지뢰가 있는 configuration은 항상 지뢰 5개를 사용한다.

하지만 여기서 제3원리가 작동한다. 파란 칸을 바로 클릭하고 싶은 유혹이 들 수 있지만, 파란 칸이 안전하다고 가정하면 그 아래에 있는 다른 세 칸도 즉시 안전해진다.

즉 이 경우에는 아래쪽 세 칸 중 하나를 선택하는 편이 낫다. 그렇게 하면 이 경우 패배 확률을 3으로 나누는 셈이 된다.

1. 지뢰 수가 같은 configuration 다루기

이 절의 목적은 같은 수의 지뢰를 사용하는 configuration들 사이에서, 어떤 칸이 다른 칸보다 더 나은지 찾는 방법을 보여주는 데 있다.

이것은 기본적인 위치든 복잡한 위치든 분석으로 가는 핵심 단계다.

이 아이디어는 확률에 기반한다. 모든 mine configuration이 보드의 나머지 부분에 같은 수의 지뢰를 남겨둔다면, 각 mine configuration마다 그것을 포함하는 board configuration의 수도 같아진다.

다시 말해 이것이 우리의 제2원리다.

• 같은 수의 지뢰를 사용하는 경우, 모든 mine configuration은 동일한 가능성을 가진다.

그러면 더 이상 비교를 위해 확률 계산을 할 필요가 없다. 해야 할 일은 여러 칸 중 지뢰일 수 있는 configuration이 가장 적은 칸, 즉 가장 안전한 칸을 찾는 것이다.

예시를 보자.

• 보라색 칸과 파란색 칸 중 어느 쪽이 더 좋은지 알고 싶다.
• 둘 다 결국 정확히 지뢰 8개를 사용하는 configuration으로 이어진다.

보라색 칸에 지뢰가 있는 경우의 수를 세어보자.

• 검은색은 가정한 지뢰다.
• 빨간색은 그 결과 확정되는 지뢰다.
• 초록색은 그 결과 안전해지는 칸이다.
• 검은 박스는 지뢰를 놓을 수 있는 여러 경우가 남아 있는 영역이며, 안의 숫자는 경우의 수다.

이렇게 하면 보라색 칸에 지뢰가 있는 경우는 6 * 2 * 2 = 24개다.

이제 파란색 칸을 보자. 이번에는 경우의 수가 훨씬 적고, 2 * 2 = 4개다.

따라서 파란 칸을 클릭하는 쪽이 보라 칸을 클릭하는 것보다 더 좋은 선택이다. 비율까지 말하면, 보라 칸이 지뢰일 가능성은 파란 칸보다 6배 높다고 할 수 있다.

그리고 여기서 끝이 아니다. 제3원리를 다시 적용할 수 있다. 파란 칸을 눌러 살아남으면 초록 박스 안의 두 칸은 안전하다. 따라서 실제로는 그 두 칸 중 하나를 먼저 클릭하는 편이 더 좋다.

비슷해 보이는 함정도 조심해야 한다. 겉보기엔 직전 예시와 비슷해도 최선의 찍기가 달라질 수 있다. 어떤 경우에는 같은 두 칸을 비교해도 8 대 12 정도의 차이밖에 나지 않아 좋은 칸을 찾는 데 도움이 되지 않는다. 그럴 때는 다른 곳을 봐야 한다.

중요한 점은, 파란 칸과 보라 칸 중 어느 쪽에 지뢰가 있느냐에 따라 사용하는 지뢰 수가 달라진다면 이런 방식의 비교가 통하지 않는다는 점이다.

비교할 수 있는 칸도 있고 비교할 수 없는 칸도 있다.

• 항상 지뢰 3개를 쓰는 configuration들만 나온다면 그 칸들끼리는 비교할 수 있다.
• 하지만 한쪽은 지뢰 수를 모르거나, 한쪽은 2개 다른 쪽은 3개를 쓴다면 제2원리를 그대로 적용할 수 없어서 같은 방식으로는 비교할 수 없다.

2. 지뢰 수가 다를 때 비교하기

이런 경우에도 비슷한 접근을 쓸 수는 있지만, 조금 조정이 필요하다. 새로 고려해야 할 요소 중 하나는 보드의 density다.

보다 정확히 말하면, 보드 밀도가 낮을수록 적은 수의 지뢰를 쓰는 configuration이 더 가능성이 높고, 많은 수의 지뢰를 쓰는 configuration은 더 드물다.

• 밀도 15%에서는 n개의 지뢰를 쓰는 configuration이 n + 1개를 쓰는 경우보다 대략 6배, n + 2개를 쓰는 경우보다 대략 36배 더 가능성이 높다.
• 밀도 20%에서는 각각 대략 4배와 16배다.

이 숫자를 외울 필요는 없다. 정량화가 꼭 필요한 것은 아니고, 어느 정도 감만 잡고 있으면 충분하다.

비교할 때는 이렇게 생각하면 된다.

• 이 가능성은 지뢰를 더 적게 쓰니까 확률 보너스가 있다.라고 생각하면 된다.

물론 적은 수의 지뢰를 쓰는 configuration을 여러 번 세는 방식으로 정확한 결과를 낼 수도 있다. 하지만 그건 금방 계산 위주가 되고 시간이 많이 든다. 이것이 정말 필요한 경우는 mastery 점수를 노릴 때 정도이고, 그 부분은 나중에 다시 다루겠다.

mastery가 아니라면 핵심은 정밀함이 아니라 나쁜 수를 피하는 것이다. 게임 막바지에는 더 좋은 방법이 있으니 그것도 뒤에서 보겠다.

짧게 말해, 정밀도에 너무 집착할 필요는 없다. 중요한 것은 같은 사고 과정을 밟고, 지뢰 수가 다른 configuration이 있으면 균형이 어느 한쪽으로 조금 기울어진다고 기억하는 것이다.

실전 예시

오른쪽 두 칸의 경우를 보자. 위쪽 칸은 지뢰 3개를 쓰는 configuration이고, 아래쪽 칸은 지뢰 2개를 쓰는 configuration이다. 단순히 개수만 세면 안 되지만, 지뢰 2개짜리 configuration은 지뢰 3개짜리보다 가치가 더 높다. Expert 보드 밀도가 약 20%라고 보면 대략 4배쯤 더 유리하다고 생각할 수 있다.

위쪽 두 칸의 경우도 보자.

• 지뢰가 오른쪽에 있으면 유일한 3-mine configuration 하나가 나온다.
• 지뢰가 왼쪽에 있으면 3-mine configuration 두 개와 2-mine configuration 하나가 나온다.

그러면 비교는 1 대 2 + 보너스가 붙은 1이 된다. 즉 더 가치 있는 configuration이 하나 더 있는 셈이므로, 지뢰는 오른쪽보다 왼쪽에 있을 가능성이 훨씬 높다. Expert 기준으로 1 with bonus를 대략 4로 세면 1 대 6 정도가 된다.

3. 최선의 찍기를 찾는 방법

이제 비교는 안다고 치자. 그렇다면 모든 칸을 다 공부하지 않고 최선의 칸을 어떻게 찾을까.

목표는 비교할 만한 잠재적으로 흥미로운 칸을 찾는 것이다. 여기에는 몇 가지 접근이 있다.

• 가장 적은 수의 지뢰를 사용하는 configuration을 찾는다. 그것들이 가장 가능성이 높기 때문에, 최선의 확률을 가진 칸은 그런 configuration들에서는 모두 안전할 가능성이 크다. 그런 칸들을 비교하면 된다.
• 지뢰라고 가정했을 때 다른 여러 지뢰의 위치를 강제로 정하게 만드는 칸을 찾는다. 여러 지뢰가 함께 확정되면 남는 배치의 유연성이 줄어들기 때문에, 비교 시 경우의 수가 더 적어져서 그 칸은 더 안전할 가능성이 높다.
• 경험에 의존한다. 비슷한 상황에서 특정 위치에 지뢰가 더 자주 있었다는 감각이 생기는 경우가 있다. 물론 함정도 있지만, 그런 칸 주변을 살펴볼 가치는 충분하다.

이 접근들은 서로 결합될 수 있다. 많이 플레이할수록 좋은 후보를 찾아내는 속도도 빨라진다. 다만 서로 충돌할 때는 주의해야 한다. 그런 경우에는 어느 한쪽 해석이 현재 상황에 정확히 맞지 않는 경우가 많으므로 재검토가 필수다.

1번째 상황

이 위치에서 좋은 찍기를 찾아보자.

첫 번째 접근부터 보자. 가장 적은 수의 지뢰를 쓰는 configuration을 찾으면 여기서는 하나뿐이다. 왼쪽의 1이 꽤 흥미롭게 보인다. 아래 지뢰는 거의 확실해 보이므로, 다른 5칸 중에서 살펴볼 여지가 생긴다. 결국 이 칸들이 비교 대상이 된다.

두 번째 접근도 보자. 왼쪽 1 주변 칸들 중에는 지뢰일 경우 다른 지뢰를 가장 많이 강제하는 칸이 있다.

• 어떤 칸은 다른 지뢰 4개를 강제한다.
• 다른 칸도 4개를 강제한다.
• 어떤 칸은 3개만 강제해서 덜 흥미롭다.
• 마지막 한 칸은 무려 5개를 강제한다.

두 접근은 여기서 대체로 비슷한 결론을 준다. 두 번째 접근이 길어 보일 수 있지만, 실제로는 이후 비교를 미리 시작한 셈이라 오히려 시간을 아껴주기도 한다.

이제 비교해보자.

• 1(1M) + 2(2M)은 지뢰 1개짜리 configuration 하나와 지뢰 2개짜리 configuration 두 개라는 뜻이다.
• 이것은 2 + 보너스가 붙은 1로 볼 수 있다. 반대로 1 + 페널티가 붙은 2로 봐도 같은 뜻이다.

결과적으로 네 칸이 모두 비슷하게 좋아 보이지만, 마지막 칸을 더 보면 그 칸에는 가능한 configuration이 하나뿐이고 지뢰 6개를 사용한다.

따라서 비교는 보너스가 붙은 1 대 2 + 보너스가 붙은 1이 된다. 핵심은 지뢰가 포함된 configuration 수가 가장 적은 칸이 가장 안전하다는 것이다. 그래서 이 경우 마지막에 본 칸이 최선의 찍기일 가능성이 높다.

2번째 상황

첫 번째 접근으로 보면, 최소 지뢰 수인 3개를 사용하는 configuration이 두 개 있다. 빨간 직사각형은 두 칸 중 어느 곳에나 있을 수 있는 지뢰를 뜻한다.

겉보기엔 비교할 칸이 많아 보이지만 실제로는 서로 연결되어 있어서 그렇게 많지 않다. 빨간색을 제외하면 색마다 하나씩, 총 4칸만 시험해보면 된다.

두 번째 접근을 보면, 다른 지뢰 2개를 강제하는 칸은 딱 하나뿐이다. 이 접근이 여기서는 특히 유용해서 비교 후보를 크게 줄여준다.

여기서는 따로 계산에 시간을 쓸 필요가 없다. 두 접근이 서로 충돌하지 않고, 두 번째 접근이 단 하나의 칸을 집어주기 때문이다. 따라서 안심하고 그 칸을 선택하면 된다.

3번째 상황

조금 더 복잡한 예시를 보자. 이 위치는 숙련자에게도 전혀 자명하지 않다.

첫 번째 접근부터 보자. 지뢰 6개를 쓰는 configuration이 두 개 있다. 둘 다 고려해서 비교 후보를 고르자.

후보는 처음엔 6칸이지만 조금만 살펴보면 줄일 수 있다.

• 파란 칸이 안전하면 보라 직사각형 안의 두 칸도 안전하다. 따라서 제3원리에 의해 그 두 칸이 파란 칸보다 반드시 더 낫다.
• 또 어떤 두 칸은 서로 연결되어 있어서 실제로는 하나만 분석하면 된다.

이렇게 하면 첫 번째 접근만으로도 비교 대상은 3칸까지 줄어든다.

두 번째 접근은 이번 예시에서는 그다지 유의미한 힌트를 주지 못한다. 직전 예시와는 정반대 느낌이라서 바로 비교 단계로 넘어가면 된다. 3칸이면 충분히 감당 가능하다.

비교 결과는 다음과 같다.

• 왼쪽 칸에 지뢰가 있을 때 8(7M) + 2(8M)이다.
• 가운데 칸에 지뢰가 있을 때 4(7M)이다.
• 오른쪽 칸에 지뢰가 있을 때 2(7M) + 2(8M)이다.

이제 판단해보자.

• 왼쪽 칸은 7M configuration 수가 너무 많아서 확실히 최선이 아니다.
• 남은 두 칸 중 어느 쪽이 더 좋은지는 제1원리를 다시 쓰면 된다. 더 많은 지뢰를 쓰는 configuration일수록 덜 가능성이 높다.

그러면 비교는 4 대 2 + 페널티가 붙은 2로 볼 수 있다. 2 + 페널티가 붙은 2는 4보다 작다. 따라서 오른쪽 칸이 최선의 찍기라는 결론이 나온다.